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  Die untersuchung einer rationalen funktion (kurvendiskussion)

Untersuchen Sie die Funktion f mit F(x) = (x - 1)2 : (x + 2) 1.Maximaler Definitionsbereich Die Funktion ist an den Nullstellen des Nenners nicht definiert. x+2 = 0 x = -2 Der maximale Definitionsbereich lautet D = R / _-2_. 2.Vereinfachung des Funktionsterms Da der Zähler und der Nenner teilerfremd sind, kann man nicht kürzen. Polynomdivision: f(x) = x - 4 + 9 : (x + 2 ).

3.Ableitungen f `(x) = 1 + (-9 * 1) : (x + 2)2 = 1 - 9 : (x + 2)2 f ``(x) = - (0 - 9 * 2 (x + 2) * 1) : ((x + 2)4) = 18 : (x + 2)3 f ```(x) = (0 - 18 * 3 (x + 2)2 * 1) : (x + 2)6 = (- 54) : (x + 2)4 4.Symmetrie Die Zählerfunktion ist (wie die Nennerfunktion) weder gerade noch ungerade. Also ist der Funktionsgraf weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. 5.Verhalten in der Nähe der Definitionslücken Stelle -2: Für x -2: x -2 · f(x) -_ Für x -2: x -2 · f(x) _ Die Funktion besitzt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach +.

Die Polgerade hat die Gleichung X = -2 6.Verhalten für sehr große x bzw. sehr kleine x für sehr große x : x · 9 : (x + 2) 0 , Näherungsfunktion : y = x - 4. für sehr kleine x: x - · 9 : (x + 2) 0 , Näherungsfunktion: y= x - 4. Die Funktion besitzt eine schräge Asymptote mit der Gleichung y = x - 4. 7.

Nullstellen Für die Nullstellen gilt f(x) = 0 (x -1)2 : (x + 2) = 0 (x - 1)2 = 0 x - 1 = 0 x = 1 1 ist doppelte Nullstelle von f. 8.Extrempunkte Notwendige Bedingung für Extremstellen : F `(x) = 0 1 - 9 : (x + 2)2 = 0 1 = ) : (x + 2)2 (x + 2)2 = 9 x + 2 = 3 x + 2 = - 3 x = 1 x = - 5 1 und - 5 sind mögliche Extremstellen. Hinreichende Bedingung für Extremstellen: f `(x) = 0 und F``(x) ungleich 0 f ``(1) = 18: 27 0, also Tiefpunkt f ``(-5) = - 18 : 27 0 , also Hochpunkt Koordinaten der Extrempunkte: f(1) = 0 ; Tiefpunkt T(1|0) f(-5) = - 36 : 3 = -12 ; Hochpunkt H(-5|-12) 9.Wendepunkte Notwendige Bedingung für Wendestellen: f``(x) = 0 18 : (x + 2)3 = 0 18 = 0 Die Gleichung besitzt keine Lösung! Es gibt keine Wendepunkte!

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