Freie harmonische schwingung

Freie harmonische Schwingungs-t-Schaubild sinusförmig ; v-t-Schaubild cosinusförmig ; a-t-Schaubild -sinusförmig . v(t) = (t) ; a(t) = (t) = (t) . t unabh. von Amplitude -> f konst. . Weiteres Beispiel : w = 2 p f = (2 p)/T Winkelgeschw.

s(t)= ŝ sin(wt); v(t)= ŝ w cos(wt) (ŝ w =); a(t)= - ŝ w² sin(wt) (ŝ w² = â). m* a(t) = F ~ s(t) ; F = -Ds ; -Ds = -mw²s -> w² = D/m ( analog f & T ) . für harm. Schwing. Bes. Anfangsbed.

: t=0s und : s = 0m ; v =+ -> s(t) = ŝ sin(wt) s = 0m ; v = - -> s(t) = - ŝ sin(wt) s = + ŝ ; v = 0 -> s(t) = ŝ cos(wt) s = - ŝ ; v = 0 -> s(t) = - ŝ cos(wt) allg.: s(t) = ŝ sin(wt + Nullpunktsphasenwinkel ) wt = Phasenwinkel       Elongation s : s(a) = d * L (d im Bogenmaß) Rückstellkraft F res = F1 = sin (d) * G A sehr klein : sin d = d Harm. Schwing.                      - 1 - Harm. Schwinger    Richtgröße D = (m* g)/L Õ w² = D/m = g/L (entsprechend f & T) Über Ähnlichkeit : F= -2D(1 – L/l)s ; l² =l 0² + s² Õ für kl. s bleibt l fast konst.

F/s = -D 0 = -2D(1 – L/l)      EES bei harm. Schwing.  Elongationsenergie . NN der Lageenergie so wählen , dass in Gleichgewichtslage (s=0) W Elong = 0 J . W Elong = ½ Ds² . Harm.

Schwing. besitzt nur W Elong & W B . s= ŝ ; v=0 : W Elong = ½ Dŝ ² . s= 0 ; v max. : W B = ½ m² ; = ŝ w ; w² = D/m ; W B = ½ D ŝ ² . s belieb.

V bzw. t zugehörig : W B +W Elong = ½ mv² + ½ Ds² = ½ Dŝ ² . Gesamtenergie : W = ½ Dŝ ² = ½ m² = ½ m w² ŝ ² .Erzwungene Schwingungen  Bei f ca. f0 : ¼ Periode (bzw. 90° ; T/4 ; p/2) Phasenversch.

s(t) = ŝ sin(wt - p/2) . Für f >> f0 : Phasenversch. nähert sich p :      - 2 - Mechanische Wellen  Alle Teilchen können schwingen & sind durch Kräfte gekoppelt : Schwing. pflanzt sich von Teilchen zu Teilchen fort -> mechanische Welle . Querwellen (Transversalwellen) : Teilchen schwing. orthogonal zu Ausbreitungsrichtung .

v mit der sie schwingen heißt Schnelle v . v mit der sich Schwing. fortpflanzt heißt Ausbreitungs-v c . Teilchen bleiben an ihrem Platz . Längswellen (Longitudinalwellen) : Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung .  v bei Querstörungen (-wellen)   Harm.

QuerwellenWird 1. Teilchen mit f zu harm. Schwing. angeregt , so wandert Welle während T = 1/f um l = c* T weiter . l heißt Wellenlänge . : c = l / T = l*f .

Teilchen führen erzw. Schwing. aus . 1. Teilchen : sin-Schwing. , dann schwingt Teilchen an Stelle x um Δt = x/c genauso .

Elongation : s(x;t) = ŝ sin(w(t – x/c)) = ŝ sin(w(t – x/(l*f))) .              - 3 - Reflexion von Wellen  Festes Ende : Wellenberg als Wellental reflektiert & umgekehrt . -> Phasensprung von 180°. Freies Ende : Wellenberg als Wellenberg reflektiert . -> kein Phasensprung .  Interferenz  2 Wellen am selben Ort : ungestörte Überlagerung : Elongationen & Schnellen addieren sich , das heißt Interferenz .

1.) Ausbreitung in gleicher Richtung , f gleich . in Phase : ŝ = ŝ1 + ŝ2 : konstruktive Interferenz . Phasenwinkel 180° (gegenphasig) : ŝ = ŝ1 - ŝ2 : destruktive I. 0 < j < 180° : ŝ1 + ŝ2 > ŝ > | ŝ1 - ŝ2 | . 2.

) Wellen begegnen sich , f gleich . 2 Wellen mit gleicher f & Amplitude: sie interferieren zu stehender Welle. (l =c* T) Alle Teilchen schwingen in Phase , Amplitude vom Ort abh. Wellengleichung : s(x;t) = [2ŝ sin((w* x)/c)]*sin(wt) . [ortsabh. Amplitude]*sin(wt) .

Bei Reflex. werden einfallende & reflektierte Welle zu einer stehenden Welle . a) festes Ende : letztes Teilchen bleibt in Ruhe -> Bewegungsknoten . Im Abstand (n* l)/2 weitere Knoten . Zwischen 2 Knoten : Bewegungsbauch ( bei ((2n+1)* l)/4 ) . b) loses Ende : letztes Teilchen : Bewegungsbauch .

         - 4 - Konstruktion der res. Welle bei der Reflex. am festen Ende  Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des festen Endes des Wellenträgers bei t = 10 s .

Konstruktion der Welle nach 11,2 s .Konstruktion der res. Welle bei Reflex. am freien Ende  Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s .

Erreichen des freien Endes des Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .        - 5 - Eigenschwingungen  Eingespanntes Gummiband ( feste Enden ) . Nur bei best. Anregungs-f ( Eigen-f ) : stehende Wellen . Niedrigste Eigen-f : genau halbe Wellenlänge paßt auf Träger .

Wellenlänge : l = ½ k*l k . Eigen-f : f k = k* f1 = c/l . f1 : Eigen-f zur Grundschwingung (/ 1. Harmonische) f k : Eigen-f zur (k -1). Oberschwingung (/ k. Harmonische) .

 Stehende Längswellen  Analog zu stehenden Querwellen ( selbe f & Amplitude ) . Druckbäuche befinden sich an den Stellen , an denen Bewegungsknoten sind . Abstand 2er Druckknoten ½ l .      - 6 - Längswellen oder Longitudinalwellen  Elongationsrichtung : Ausbreitungsrichtung . Teilchen schwingen um ursprüngl. Lage in x-Richtung .

Sonst analog Querwellen . s = Δ x (Auslenkung aus Ursprungslage). Weiß : alte Lage , Schwarz : neue Lage , Pfeile : Entfernung von alter Lage : Druckunterschiede wandern über Wellenträger . Teilchen schwingen nacheinander mit f in Längsrichtung . Fortschreitende Längswellen : Unterdruck / Überdruck an Stellen mit Elongation 0 ( bei max. Schnelle ) .

 Bsp.: stehender Längswellen – Schallwellen Korkmehl . best. f Ton bes. laut . : stehende Welle .

2 offene / geschlossene Enden : l = ½ k*l : Eigen-f . 1 offenes & 1 geschlossenes Ende : l = ¼ l*(2k –1) . 2 offene Enden : 1 offenes & 1 geschlossenes Ende : 2 geschlossene Enden :          - 7 - Dopplereffekt  bewegte Schallquelle , ruhender Beobachter . v von Q kleiner Schallgeschwindigkeit c : v < c . Spezialfall : v = 0 m/s : b) v > 0 m/s : b) l = c/ f ; s = v *T = v/ f : Abstand zwischen 2 Wellenfronten verkürzt sich um s . Beobachter vor Quelle / Beobachter hinter Quelle : l v h = l -+ v/f = c/f -+ v/f = (c -+ v)/f ; f v h = c / l v h = c/((c -+ v)/f) = c* f/(c -+ v) oder f v h = f/((c -+ v)/c) = f/(1 -+ v/c) .

Bewegter Beobachter , ruhende Quelle . f z = 1/T z = (c+ v)*f/c = (1+v/c)*f . Analog B w : f w = (c- v)*f/c = (1-v/c)*f .  Machscher Kegel – ÜberschallknallD.h. v ≥ c bewegte Quelle :- 8 - Elektrostatik Elektrische Feldstärke Geo.

Überlegungen : sin φ = s/L ; tan φ = F el/G , da φ<<10° : sin φ ≈ tan φ : F el/G = s/L : F el = G* s/L . F el ~ q : F el/q = E heißt Feldstärke { 1 N/C } .        - 9 - Elektrische Ladung  W A -> B ~ q ->U = W AB /q ist konst. & heißt Spannung zwischen A & B {1 J/C = 1V} .  Spezialfall : Homogenes Feld  F & E konst. W AB = F s*s = F el*d : U AB = W AB /q = F el *d/q = E*q*d/q = E*d : E = U/d .

1.) Geladene Kugel zwischen C , d wird vergrößert : a) Quelle weg , Q bleibt konst. : mit d nimmt U prop. zu : E konst. : Kugel bleibt gleich ausgelenkt : E = F el/q konst. b) Quelle bleibt , U konst.

: Kugelausschlag geht zurück : E = U/d & E = F el/q konst. 2.) d konst. , U variiert : U nimmt ab : E = U/d nimmt ab Ausschlag geht zurück .  Im radialen Feld einer PunktladungI entlang einer Feldlinie (Weg längs Kraft) , II beliebiger Weg . Arbeit entlang s mit Mittelpunkt -Q : W = 0 J : Kreisbahn : F orthogonal s .

I F nicht konst . II zerlegt in Strecken entlang Feldlinien & Kreisstücken : zu jeder Wegstrecke Strecken auf I mit gleichem Kraftverlauf (= E) : Überführungsarbeit wegunabh. Jedes elektrostatische Feld aus Punktladungen zsmgesetzt : F = F res aus Punktladungen : Im elektrostatischen Feld : U = W/q zwischen 2 Punkten ist eindeutig best. (hängt nicht vom Weg ab). Wenn W 1 > W 2 Widerspruch zu EES : Auf I hin , auf II zurück : W = W 1 - W 2 : man würde Energie rausbekommen .                              - 10 - Potentiale im stromdurchflossenen Leiter  AB dünner Draht : gr.

Widerstand R .Energie über Stöße an Draht abgeg. Je weiter e‾ im Draht kommen , desto mehr W haben sie abgeg. Strom fließt : Potential (R) im Leiter nimmt ab : Spannungsabfall : Wieviel W gibt 1 C Ladung auf dieser Strecke an Draht ab . Spannungsabfall AX : U AX = φ(X) = (AX)/(AB)*4V = 4V*R AX /R ges : U AX prop. zu R AX .

 lächendichte der Ladung Coulomb-Gesetz                   - 11 - Berechnung der Feldstärke in radialen Feldern Coulomb-Gesetz  F = E*q = Q* q/(4p r² ε 0) = k* Q* q/ r². Q = Punktladung , r = s.o. , q von Q , k=1/(4p ε 0) = 9,0*109 N*m²/C².  Coulombpotential  U AB =W AB /q : W AB = rA ∫rB F(r) dr = Q q/(4p ε 0)* rA ∫rB 1/ r² dr =Q q/(4p ε 0)*[-1/r] rA rB = Q q/(4p ε 0)*(1/r A -1/r B) NN ∞ (r B -> ∞) : Coulombpotential von A mit r = r A von Punktladung Q . φ(r) = U A,∞ = Q/(4p ε 0 r) : W~1/r : W>0J ; Qq>0 : Abstoßung ; W < 0J ; Qq < 0 : Anziehung .

Die Kapazität  Hom. Feld : E=U/d ; σ = Q/A = ε 0*E : Q = ε 0*E*A = ε 0*U*A/d : Q~U : C = Q/U heißt Kapazität {1 C/V = 1F } : C = ε 0*A/d . Isolator zwischen Platten : Vergrößerung C um Dielektrizitätszahl ε r : C = ε 0*ε r* A/d .                          - 12 - Schaltung von Kondensatoren  Parallelschaltung : Reihenschaltung : Q i = C i* U ; i = 1,2,3 Wegen Influenz : jede Platte Ins. Quelle liefert Ladung : gleiche Ladung : jeder C gleich Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 geladen : U i = Q/C i ; i = 1,2,3 = C 1*U + C 2*U + C 3*U (Spannungsabfall). = (C 1 + C 2 + C 3)*U U = U 1 + U 2 + U 3 Ersatzkapazität : C = Q/U Ersatzkapazität : C = Q/U : C ers = Q/U = C 1 + C 2 +C 3 C ers = (1/C 1+1/C 2+1/C 3) -1 .

  Die Isolatoren im E-Feld  Erklärung ε r : a) C von Quelle getrennt : Isolator einschieben : U zwischen Platten sinkt . Durch felderzeugende Ladungen +Q & -Q Elektronenhüllen gegenüber Atomkernen verschoben . An Platten zugewandten Seiten entsteht Ladungsüberschuß , heißt Polarisationsladungen Q p . Im Isolator entsteht „induziertes“ Gegenfeld : ursprüngl. E geschwächt : U= E*d zwischen Platten sinkt . (F kleiner , W überführ kleiner).

Quelle angeschlossen : zusätzlicher Ladestrom fließt : neg. Ladungen von Quelle zusätzlich von Q p angezogen . Quelle kann bei gleichem U mehr e‾ gegen gegenseitige Abstoßung auf neg. Platte transportieren . Analog pos. Platte .

C nimmt mit Dielektrikum zu .  - 13 - Andere Betrachtungsweise : Für Verschiebung von e‾ in Atomen ist W nötig : a) von Quelle getrennt : Dielektrikum nimmt einen Teil der in E gespeicherten W auf : Feldstärke & U zwischen Platten nimmt ab . b) an Quelle angeschlossen : Quelle liefert mehr W , da Dielektrikum auch W aufnimmt : mehr Ladung fließt auf Platten : C hat zugenommen : C = ε 0ε r* A/d . Bemerkung : Manche Dielektrika haben Atome , die selbst el. Dipole sind : ε r bes. hoch : durch Ausrichtung der Dipole großes Gegenfeld : Überführungsarbeit kleiner , C = Q/U wird groß : man sagt Orientierungspolarisation .

Ausrichtung der Dipole : entgegen thermischer Teilchenbewegung : ε r temperaturabh. Leiter im C : Statt Dielektrikum Metallplatte (Dicke x) ohne Berühren : So viele Ladungen auf ihr werden influenziert , bis Leiterinnere feldfrei . C steigt (nicht wegen ε r sondern weil durch Platte quasi 2 Cs vorhanden : Plattenabstände d 1 & d 2 : d 1 + d 2 = d - x . C ers = (1/C 1 + 1/C 2)-1 = (d 1/(ε 0*A) + d 2/(ε 0*A)) -1 = ε 0*A/(d 1 + d 2) = ε 0*A/(d - x) > ε 0*A/d . Andere Betrachtungsweise : e‾ in Leitern praktisch ohne Arbeitsaufwand verschiebbar : W um e‾ von 1er Platte zur anderen zu transportieren mit Metallplatte geringer (wegen W P,Q = E*s, s = PQ) um W x = E* x : Spannung U A,B = W A,B /q = (W d - W x)/q = E*(d - x) nimmt ab .    Parallelschaltung von C 1 mit der Reihenschaltung C 2 & C 3 mit C 1 = e 0*A 1/d ; C 2 = e r e 0*A 2 /d 2 ; C 3 = e 0*A 2 /d 3 : C ers = C 1 + (1/C 2 + 1/C 3) -1 Reihenschaltung 2er Cs mit C 1 = e 0*A/d 1 & C 2 = e r e 0*A/d 2 : C ers = (1/C 1 + 1/C 2) -1= e 0 e r* A/(e r* d 1 + d 2) Parallelschaltung 2er Cs mit C 1 = e 0*A 1/d & C 2 = e r e 0*A 2/d : C ers = C 1 + C 2 = e 0*(A 1 + e r* A 2)/d .

Dielektrika teilweise eingeschoben - 14 - Feldenergie  W el eines geladenen C : Um q bei der nahezu konst. U 1 von Platte 1 des C nach 2 zu schaffen ist W1 = U 1 *q nötig . W ges ergibt sich als Fläche unter Q-U-Kurve : W = ½ QU = ½ CU² = Q²/(2C) .  Wo ist diese Energie gespeichertPlatten von C (ohne Quelle) auseinanderziehen : Q & E konst. aber felderfüllte Raum nimmt zu : W = ½ CU² = ½ ε 0 ε r (E*d)² *A/d = ½ ε 0 ε r *A* d* E² : A*d = Volumen zwischen den Platten : W = ½ ε 0 ε r *V*E² : W el steckt in V . Def.

: Energiedichte : ρ el = W el /V = ½ ε 0 ε r *E² .  Laden eines KondensatorsC über R laden : Strom I(t) fließt , nach t ist Q(t) auf C : zwischen Platten herrscht Spannung U C (t) = Q(t)/C (Spannungsabfall an C) . Nach Halbwertzeit T H ist Q bzw. U entsprechend größer . Über Q(t)- bzw. U(t)-Schaubild Exponentialkurven : U C (t) = U 0 (1 - ½ t/TH) ; Q C (t) = U 0 *C*(1 - ½ t/TH) , für Ladestrom gilt : I(t) = ()(t) = I 0 * ½ t/TH.

Entladen : U C (t) = U 0 * ½ t/TH ; Q C (t) = U 0 *C* ½ t/TH , für Entladestrom gilt : I(t) = (t) = -Q(t)*ln(2)/TH . Da I(t) = U(t)/R = -Q(t)*ln(2)/TH ist TH = -R* ln(2)*Q(t)/U(t) : TH = ln(2)*R*C .                            - 15 - e‾ - RotorNeg. Ionen laufen nach innen : erfahren im Magnetfeld Kraftkomponente im Uhrzeigersinn . Pos. Genauso laufen nur nach außen : Flüssigkeit rotiert im Uhrzeigersinn .

(für pos. Teilchen 3-Finger-Regel mit re. Hand möglich).  Magnetische FlussdichteDef.: Steht stromdurchflossener gerader Leiter senkrecht zu Magnetfeldlinien & erfährt mag. Kraft F so heißt B = F/(I*s) mag.

Flussdichte (B Maß für Stärke des Magnetfeldes (B-Feld)) {1 T = 1 N/(A*m) } . Richtung aus (li.) 3-Finger-Regel .  Größe der Lorentzkraft  Mit oben gilt : F = I*B*s ( F = Summe der Lorentzkräfte aller in s fließenden e‾). v = s/t , I = Q/t = N* e‾/t : I = N*e*v/s : F = s*B*N*e*v/s = N*e*v*B ( für alle e‾ in s) , Für 1 e‾ : F/N = F L = e* v* B ( v senkrecht zu B-Feldlinien : F L ^ v s bzw. ^ B .

Allg. F L = q* v* B .Geschwindigkeit der e‾ in stromdurchflossenen Leitern :Bsp.: Silberdraht : ρ Ag = 10,3 g/cm³ , Atommasse : 108 u I = N* v* e/s = N* v* e* A/V : 1 mol Ag wiegt 108 g / V = m/ρ Ag = 10,5 cm³ / enthält 6*10²³ Atome . Jedes Metallatom gibt ca. 1 e‾ als Leitungselektron an Metall ab : 6*10²³ e‾ = N in 10,5 cm³ .

I = 1 A , Querschnittsfläche A = 1 mm² : v = I*V/(N* e* A) = 0,11 mm/s .                    - 16 - HalleffektF el hält F L das Kräftegleichgewicht (E-Feld durch e‾ - Verschiebung) : F L = e* v* B = e* U H /h = F el : U H = h* v* B .  B-Feld bei Spulen  Durch Messung : B ~ I*n/l : μ 0 = B/(I* n/l) = B* l /(I* n) = 1,257*10-6 T* m/A und heißt mag. Feldkonstante . Mit Permeabilitätszahl μ r erhöht sich B : μ 0 = B/(μ r *I* n/l) = B* l /(μ r *I* n) = 1,257*10-6 T* m/A . Nur für schlanke Spulen : l ≥ 5*Durchmesser .

Also B = μ 0 *μ r *I* n/l .  Das Erdmagnetfeld  Spule mit Kompaß in O-W-Richtung , Spulenstrom so , dass Kompaß in N-O-Richtung : B-Feld : B = 1,257*10-6 T* m/A * 0,16 A * 34/0,28m = 2,4*10-5 T ( falsch , da zu viel Eisen (-> Felder) in der Nähe).  Geladene Teilchen in Feldern  e‾ in Braunscher Röhre beschleunigt : EES : W el = W B : U*q = ½ mv² : v = √(2Ue/m) ( für U ≤ 10 kV , m = m 0 *1/(√(1 - v²/c²)) m 0 = Masse in Ruhe , für kleine v ist m = m 0 .  Bewegte e‾ im (hom.) B-Feld             - 17 - Versuchsvariante : e‾ schräg zu B einschießen , Einschußwinkel φ . v s ^ B bewirkt F L : realisiert F z .

v p || B : keine F L : in B Richtung bewegen sich die e‾ gleichförmig mit v p = cos φ *v . Überlagerte Kreisbewegung wegen v s .  SchraubenlinieGanghöhe : h = v p *T , Umlaufdauer : T , Radius Kreisbahn : r . Ansatz : F L = F z . e* v s * B = m v s ²/r : r = m v s /(e* B) = m* v* sin φ /(e* B) ; T = 2p r/v s = 2p m v s /e* B* v s = 2p m/(e* B) : unabh. von v , r , φ .

h = cos φ*v*2p m/(e* B) .  Geladene Teilchen in E-Feldernv x = √(2U x *e/m) = x/t ; y-Richtung : a y = U y *e/(d* m) , (für 0 ≤ x ≤ l) : v y = a y *t = U y *t *e/(d* m) , y = ½ a y *t² = e* t² *U y /(2d*m) = y(t) . Bahnkurve : aus oben : t = x/(√(2U x *e/m)) ; y = (U y *e/(2d*m))*(x²/(2U x *e/m) = x² *U y /(4d*U x) = y(x) (Parabelbahn) . Ende des Kondensators : x = l : y 1 = l² U y /(4d*U x) .  Geladene Teilchen in E- & B-Feldern     - 18 - Versuch : e‾-Bahn nicht gerade : Fehler : Felder nicht ganz homogen . Wird hinter Wienfilter B-Feld erzeugt , so wird dort nach Masse sortiert : man nennt diese Anordnung Massenspektrograph .

Weiteres Bsp.: Thomson : Punkt gibt an : Masse / v durch Ort des Punktes , Ladung durch Richtung (o , u , li , re). Kreisbewegung in x-y-Ebene , Parabelbahn in y-z-Ebene .  Raumladung in Vakuumdioden2) Stromkreis geschlossen , A besitzt 3) zusätzlich weitere Quelle U a im Kreis . dasselbe Potential wie K : 2 E-Felder a) U a bei A pos. : E 2 vergrößert , E 1 existieren : E 1 zwischen K & abgeschwächt : mehr e‾ zu A : I a steigt .

e‾-Wolke ; E 2 zwischen A & U a > best. Wert : I a steigt nicht mehr : e‾-Wolke . E 2 bewirkt Strom I a von alle freigedampften e‾ sofort abgesaugt : A nach K . Sättigungsstromstärke (Sättigungsbereich) b) U a bei A neg. : Stromstärke aus 2) bis zu 0 A bei best. U a (3V-10V : Temp.

/ Heizstromabh.) : schnellsten e‾ erreichen A gerade nicht mehr : hatten W B = 3 eV : Anlaufstrombereich .        - 19 - FotoeffektKennlinie:Gasentladung  Unselbständige Gasentladung : Gasmoleküle el. neutral . Gasgefüllte Fotozelle : Cs-Fotozelle gefüllt mit Edelgas (Ne) & niedriger Druck : sonst wie Vakuumfotozelle (s.o.

) . Kennlinien vergleichen : unterhalb von 18 V : Raumladungs- & Sättigungsbereich gleich ; U a > 18 V : Stromstärke I U a steigt stark an –Kennlinie : Mehr Ladungsträger vorhanden . Unterhalb U a = U i = 18 V wegen Fotoeffekt e‾ aus Cs- Schicht herausgelöst , im E-Feld beschleunigt & von Quelle abgesaugt . Für U a > U i erhalten Foto- e‾ aus E-Feld zusätzlich W B = e* U a > 18 V . W ges der schnellsten e‾ so groß , dass sie Ne-Atome ionisieren können : Stoßionisation : pos. Ionen & zusätzliche freie e‾ : I a nimmt zu .

U a groß genug : zusätzlich freie e‾ können ebenfalls Ne-Atome ionisieren : starke Stromverstärkung . Ionisierten Gasatome rekombinieren an K zu neutralen Atomen . W für Molekülionisation heißt Ionisationsenergie / Ionisierungsenergie : Ne-Atome : W i = 21 eV : schnellsten e‾ haben 3 eV (Fotoeffekt) : müssen noch weitere 18 eV aus E-Feld aufnehmen . Bemerkung : Gas nicht stark verdünnt : freie e‾ schon nach kurzer Strecke gegen Atom stoßen : noch nicht genügend W aus Feld aufgenommen : können Atome nicht ionisieren .Elektroskop mit Hochspannung gegen Erde geladen : keine Ladung fließt ab : Luft trotz hoher U Isolator . Flamme / radioaktives Präparat in die Nähe : genau dann fließt Strom : Luftmoleküle dadurch ionisiert : werden elektrizitätsleitend .

Elektrizitätsleitung hält so lange an , wie von außen neue Ladungsträger erzeugt werden können . (mittlere) freie Weglänge ( Flugstrecke ohne Stoß gegen Molekül) der e‾ zu gering .    - 20 -Teil der Luft abpumpen : Gas fängt an zu leuchten . A : rote Säule mit leuchtenden Schichten : zieht sich bei stärkerem Abpumpen zurück. Selbstständige GasentladungK : bis zum Schluß (alle Luft draußen) violettes Leuchten ; anfangs von roter Säule (bis diese verschwindet) durch Dunkelräume getrennt . Violettes Licht : Ionen , die Moleküle ionisieren ; rotes Licht : e‾ , die Moleküle ionisieren : Ionen haben mehr W durch größere Masse : Bei Ionisation wird e‾ des Atoms auf höhere Schale gehoben , beim zurückfallen wird W in Form von Licht frei : Ionen können e‾ um 2 Schalen höher heben : mehr W wird frei : violettes Leuchten = energiereicheres Leuchten .

 Elektromagnetische InduktionBei Spule : U ind um Anzahl der Wicklungen vergrößert .  Leiterschleife fällt in B-Feld Leiterschleife wird im B-Feld gedreht - 21 - Weiterer Versuch : Kabelschleife im B-Feld zsmgezogen : A s (senkrecht durchsetzte Fläche ; s. Leiterschleife) ändert sich : U ind : U ind ~ A. s (= Änderung der felddurchsetzten Fläche). Def.: Φ = B*A s & heißt mag.

Fluss ( durch Fläche A s) .  Während ?t legt der Stab ?s = v s * ?t zurück : ?A s ändert sich : ?A s = d* ?s = d* v s *?t . Induktionsgesetz ( 1. Formulierung)Damit ist U ind = B* d* v s = B* d* Δs/Δt = B*ΔA s /Δt . Da B konst. : U ind = Δ(B*A s)/Δt = ΔΦ/Δt .

Für belieb. v s = lim(Δs/Δt) für Δt -> 0s : U ind = B* d*(lim(Δs/Δt) für Δt -> 0s) = lim(ΔΦ/Δt) für Δt -> 0s = Φ.. Induktionsgesetz : Ändert sich Φ durch Spule mit Windungszahl n , so wird wegen F L die U ind = n* Φ. induziert .  Induktion durch Wirbelfelder ( 2.

Formulierung) 1.) >0 A/s: >0 T/s :U ind ~ 2.) I = 100 mA konst. : B max konst. : U ind = 0 Induktion ohne F L : In gr. Spule liegt kl.

Spule , so dass deren A s ^ B (gr. Spule) . Gr. Spule fließt gleichmäßig ansteigender I : B wird gleichmäßig (linear) verändert . Induktionsgesetz : U ind = n* Φ. : Ändert sich Φ (wird nach Produktregel abgeleitet : Φ = A s *B ) durch Spule mit Windungszahl n , so wird U ind induziert unabh.

davon , ob sich A s oder B ändert .  Im Induktionsversuch : Schienen kurz-schließen : I fließt wegen U ind . freigesetzte /umgewandelte W : W el = UQ = U*I*t = U ind *I* t = B* v s *d* I* t WirbelfelderW mech = F* s (Kraft gegen F mag) = I* B* d* s = I* B* d* t* v s EES gilt !                    - 22 - Lenzsches Gesetz  U ind stets so gepolt , das der von ihr hervorgerufene Strom der Ursache von U ind entgegen wirkt (Folge des EES) .Aluring um Eisenkern in Spule : kann mittels S an Batterie angeschlossen werden . Lenzsches Gesetz bei Flussdichteänderunga) Einschaltvorgang b) Ausschaltvorgang Stromkreis geschlossen : I steigt kurzzeitig stark an : >0 T/s ist sehr groß : Aluring fliegt weg : In ihm wird U ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld : ist entgegengesetzt zu B-Feld in Eisenkern : Abstoßung : Induziertes B-Feld so gerichtet , dass das anwachsende B-Feld der Spule geschwächt wird . Erklärung : s.

o. Beim Ausschalten : I & B nehmen stark ab : < 0 T/s ist sehr groß : Aluring wird angezogen : In ihm wird U ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld : ist gleichgerichtet zu B-Feld in Eisenkern : Anziehung : U ind so gepolt , dass I ind B-Feld erzeugt , dass das abnehmende B-Feld aufrecht erhalten will . Erklärung : s.o.                - 23 - Flussänderung durch Änderung der Permeabilitätszahl μ 0  Eisenstück in stromdurchflossener Spule : B nimmt zu , Stromstärke durch Spule während des Einführens kleiner. Erklärung : Spule selbst ist auch Induktionsspule : In ihr wird U so induziert , dass I ind der Zunahme von B entgegen wirkt : B-Feld der Spule allein wird kleiner : damit auch I : I = U/R = (U 0 + U ind)/R = (U 0 – n* Φ.

)/R . Beim Herausziehen ist Φ.< 0 (da < 0) : U ind pos. (bzgl. U 0) : I steigt ; Beim Einführen ist Φ. > 0 (da > 0) : U ind neg.

(bzgl. U 0) : I fällt .  Endgültige Formulierung des Induktionsgesetzes  U ind = – n*Φ. ( n von Induktionsspule) .  Selbstinduktion Hinkender Strom SelbstinduktionUnterschied Induktion – Selbstinduktion : Induktion : Spule induziert U ind in anderer Spule . Selbstinduktion : Spule induziert U ind in sich selbst .

                             - 24 - Eigeninduktivität einer schlanken SpuleU ind = -n*Φ. Φ = B*A = μ 0 μ r *I* A* n/l : U ind = -n* μ 0 μ r * *A* n/l = -L* ; L = μ 0 μ r *n² *A/l . Allg.: L = -U ind / heißt Eigeninduktivität { 1 H = 1 T* m²/A } . Abweichungen durch nicht ideal schlanke Spulen : nicht homogen . EinschaltvorgangEinschalten : I(t) = U(t)/R = (U 1 + U ind)/R = (U 1 – L*(t))/R : (t) = -(R*I(t)-U 1)/L =(U 1 - R*I(t))/L ; t 0 =0s : (0s) =(U 1 – R*I(0s))/L =U 1 /L : |U ind | = L*(0s)= U 1.

Im 1. Augenblick ist U ind = U 1 . Induktivität einer belieb. Spule  Gemäß L = U 1 /(0s) läßt sich die Induktivität aus dem Schaubild des Einschaltvorgangs (s.o.) bestimmen .

(0s) ist die Steigung der Kurve I(t) zum Zeitpunkt t 0 = 0s . Den ohmschen Widerstand erhält man aus der Asymptote der I(∞) , dort (∞)= 0 A/s. I(∞) = U 1 /R : R = U 1 /I(∞) . AusschaltvorgangU 1 = 0 V . : I(t) = U/R = (U 1 + U ind)/R = -L* /R  Energie des MagnetfeldesP = U(t)*I(t) = U ind (t)*I(t) = -L* (t)*I(t). Bei kl.

Zeitraum dt wird dW = P(t)*dt umgewandelt : W = 0∫∞ P(t) dt = 0∫∞ I(t)* (t) dt [Substitution] = -L I 1∫0 I dI = -L [½ I²]I 1 0 = ½ L*I 1 ² I 1 = U 1 /R ist ursprüngl. Stromstärke vor Ausschalten .                  - 25 - Wechselspannung / -strom  Rotierende Spule (s. Leiterschleife) in B-Feld : U ind = -n*Φ. ; Φ(t) = B*A s (t) = B* A* cos(wt) = B* A* cos(α(t)) (α = wt heißt Phasenwinkel) : U ind = (-)n* B* A* w*(-)sin(t) = n* B* A* w* sin(wt) = Û sin(wt) .Rotierender Zeiger : Bei Projektion : U(t) Zeigerdiagramm Ohmscher Widerstand im WechselstromkreisVersuch : Wenn f der Wechselspannung U ~ genügend hoch : Lämpchen leuchtet konst.

hell . Dafür Scheitelwert von Û ~ = 15 V nötig . Bei Gleichspannung benötigt gleich hell leuchtendes Lämpchen Gleichspannung U = = 10 V . Def. : Der Effektivwert einer U ~ gibt diejenige U = an , die nötig ist , um beim selben R die gleiche mittlere Leistung hervorzubringen : U eff , analog : I eff .  Effektivwerte sin-förmiger Wechselspannungen  Bei R = U/I : Momentanleistung : P(t) = U(t)*I(t) = U²(t)*1/R = I²(t)*R , mit U(t) = Û sin(wt) : P(t) = Û ² sin ²(wt)*1/R = ½ (1 – cos(2wt))*Û ²/R .

Um Pzu erhalten : P = ΔW/Δt : ΔW = 0s∫t 1 P(t) dt = (t 1 - (1/(2w)) sin(2wt 1))*Û ²/(2R) ; Δt = t 1 - 0s : P = Û ²/(2R) - Û ² sin(2wt 1) / (4w*R*t 1) ; t 1 -> ∞ : P = Û ²/(2R) = U² eff /R (s.o.) : U eff = Û / √2 .  - 26 - Spule im Wechselstromkreis-> (resultierender) Strom I(t) hinkt der angelegten U hinterher .  Herleitung der Stromstärke im L-KreisI in Spule : I(t) =(U 1 (t)+ U ind (t))/R =(U 1 (t) - L* (t))/R : R*I(t)= U 1 (t) – L* (t) . Annahme : R = 0 Ω : L*(t) = U 1 (t) bzw.

(t) = U 1 (t)/L : I(t) = ∫(t)dt = ∫U 1 (t)/L dt = Û/L ∫ sin(wt) dt = - cos (wt)*Û/(L* w) + c ( c = Gleich-/ Grundstrom) . Erg.: I(t) ~ -cos(wt) = sin(wt - 90°) : I hinkt angelegtem U um 90° hinterher (bei R = 0 Ω) . Bem.: c ist immer 0 A sobald R nicht exakt 0 Ω . Def.

: induktiver Blindwiderstand X L = Û/ î = Û/(Û/w* L) = w* L .  Blind- und Wirkwiderstand zugleich : L-R-Kreis  X L & R in Reihe geschaltete Widerstände : I(t) ist überall gleich . Spannungsabfall am R : U R (t) = R*I(t) ; Spannungsabfall am X L : U L (t) = X L*I(t) . U R ist in Phase mit I(t) ; U L eilt I(t) um 90° voraus . Zeigerdiagramm : Beim Drehen : Û erreicht vor î Max. : hinterherhinken bedeutet : die entsprechende Kurve liegt weiter re.

(wenn U R groß : U L klein) . Û ² = Û ² L + Û ² R = R²I² + (w* L)² I² : Û = î *√(R² + (w* L)²) Gesamt- / Scheinwiderstand : Z = √(R² + X L²) φ zwischen angelegtem U & I : tanφ = Û L /Û R = X L /R = w* L/R . Ist U(t) = Û sin(wt) so fließt I(t) = î sin(wt – φ) .                    - 27 - Kondensator im Wechselstromkreis Stromstärke im C-KreisGesamtspannung : U(t) = U 1 (t) + U C (t) = I(t)*R ; mit R = 0 Ω & U C (t) = -Q(t)/C : Q(t)/C = U 1 (t) : I(t) = (t) = C*U.1 (t) ; mit U 1 (t) = Û sin(wt) : I(t) = C*Û *w* cos(wt) . Def.

: Kapazitive Widerstand X C = Û/ î = Û/(C*Û *w) = 1/(w* C) . Bem.1.: bei sin-förmigen U ~ : I eff = î /√2 , analog U eff : X C = U eff /I eff = 1/(w* C) . 2.: X C ist Blindwiderstand : keine W el in innere W umgewandelt .

Der R-C-KreisScheinwiderstand Z = √(R² + X C ²) = Û 1 / î ; tan φ = Û C /Û R = X C /R = 1/(w* C* R) (φ hier neg.) . Û C hinkt I(t) um 90° hinterher  Der R-C-L-KreisZ = Û/ î = √(R² + (X L – X C)²) = √(R² + (w* L – 1/(w*C))².  Resonanz  Bei best. f 0 (bzw. w 0) : I(t) wird max.

: Resonanz(-f) : Bedingungen(äquivalent zueinander : wenn 1 vorliegt , liegen auch die anderen vor) : I max. ; φ = 0 ; Z min. , d.h. Z = R ; Û R = Û ; Û L = Û C ; Û L & Û C max. ; X L = X C : w 0 *L = 1/(w 0 *C) : w 0 = √(1/(L*C)) : f 0 = √(1/(L*C))*1/(2p) .

             - 28 - Leistung im Wechselstromkreis  X L , C : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (-) î cos(wt) R : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = î sin(wt) P(t) = U(t)*I(t) : Momentanleistung R : P(t) = I²(t)*R ≥ 0 W X C : P(t) = - Û sin(wt)* î cos(wt) : Laden : P(t) > 0 W ; Entladen : P(t) < 0 W : C liefert W an die Quelle : In 1 Periode ist Gesamtleistung = 0 W . X L : Analog zu b) (ohne - ; W el wird W mag wird W el ...) . Def.

: 1.) mittlere Leistung P‾ heißt Wirkleistung (W der Quelle pro Sekunde) . 2.) ohne R : P‾ = 0 W ; der dabei fließende Strom ist ein Blindstrom .  Wirkleistung bei einer Siebkette R-C-L-Glied  U(t) = Û sin(wt) = Û sin(α) ; I(t) = î sin(wt - φ) = î sin(β) ; P(t) = Û * î sin(wt)sin(wt - φ) (P(t) über Zeit integrieren liefert W) Einschub : sin α *sin β = ½ (cos(α – β) – cos(α + β)) Ferner gilt : Û * î = √(2) *U eff *√(2) *I eff = 2*U eff *I eff : P(t) = 2*U eff *I eff *½(cos φ – cos(2wt – φ)) = U eff *I eff *cos φ . cos(2wt – φ) hebt sich über 1 Periode gemittelt auf , cos φ heißt Leistungsfaktor .

Zeigerdiagramm :  TransformatorenUnbelasteter Trafo: Belasteter Trafo :  - 29 - Der ideale TrafoDef.: idealer Trafo : R der Primärspule (PS) = 0 Ω , von PS erzeigte Fluss Φ durchsetzt Sekundärspule (SS) vollständig (gut geschlossene Eisenkerne) . Der unbelastete Trafo Primärseite : Sekundärseite : R 1 = 0 Ω : I Prim = Blindstrom , U 1 Induktionsgesetz : Durch Flussänderung & I Prim sind 90° phasenverschoben . Φ. : wird in SS U 2 (t) = -n 2 *Φ.(t) Verbraucht im Leerlauf keine W .

induziert . Da Trafo unbelastet : fließt X L sehr gr. : I Prim sehr kl. kein Strom im Sekundärkreis : Fluß Φ Durch Selbstinduktion : wird nicht verändert . U ind (t) = -n 1*Φ.(t) = - U 1(t) .

Gleichsetzen der Flussänderung : U 2 (t)/U 1(t) = -n 2 /n 1 = - ü , für Effektivwerte : U 2 , eff /U 1, eff = n 2 /n 1 = ü Der belastete Trafo An SS Wirkwiderstand R legen : Wirkstrom I 2 = U 2 /R : entnommenes P‾ stammt von PS (EES) : dort zusätzlich zum Blindstrom I 1, blind (mit Φ = 90°) ein Wirkstrom I 1 (mit Φ = 0°) : P‾ = I 2 , eff *U 2 , eff = I 1, eff *U 1, eff : I 2 , eff /I 1, eff = U 1, eff /U 2 , eff = n 1/n 2 = 1/ü . Bem.: Wegen I 1, blind ist I 1, ges > ü* I 2 (Bei guten Trafos : I 1, blind ≈ 0A , da X L groß ; bei realen Trafos , wegen R Prim ≠ 0 Ω , noch sehr kl. Wirkstrom in PS : verfälscht obere Gleichung) . Erg.: Spannungen : U 2 , eff /U 1, eff = n 2 /n 1 = ü (U 2 richtet sich nach U 1) ; Wirkströme : I 2 , eff /I 1, eff = n 1 /n 2 = 1/ü (I 1 richtet sich nach I 2) Anwendungen : n 2 <<n 1 , sehr kl.

R Sek : sehr hoher I 2 : Schweißtrafo ; n 2 >>n 1 : U 2 >>U 1 : Hochspannungstrafo (U 2 wegen auftretender Leistung lebensgefährlich) . Bei Eisenkernen aus einem Stück : Vergrößerung I 1 : es treten Wirbelströme auf , die Energie aufnehmen : Trafokerne aus Eisenplättchen aufgebaut , die gegeneinander isoliert sind . Andere Erklärung : a) unbelasteter Trafo : U 1 (t) = Û 1 sin(wt) : PS : I 1 (t) = î 1, blind cos(wt) (Blindstrom) : verursacht Fluss : SS : U 2 (t) = - Û 2 sin(wt) , I 2 = 0 A . b) belasteter Trafo : SS + R : SS : U 2 (t) = - Û 2 sin(wt) , I 2 , w (t) = -î 2 , w sin(wt) (Wirkstrom) : zusätzlicher Fluss : U 1, ind (t) = -Û ind cos(wt) : I 1, w (t) = î 1, w sin(wt) .        - 30 -I 1, prim besitzt f < 90° zur angelegten Spannung U 1 . Wirkleistung : P? = Û 1 * î 1 cos f bzw.

P? = Û 1 * î 1, w : Wirkströme : î 2 , w / î 1, w = Û 1 /Û 2 = n 1 /n 2 = 1/ü . Zeigerdiagramm der PS :Transport elektrischer EnergieÜberlandleitungen sind Hochspannungen : Reihenschaltung von Lampe (R = 100 Ω) & R = 1 kΩ (R der Leitungen) : An Leitungen fällt daher Großteil (90%) der Spannung ab : 90% der el. W bzw. Leistung in Leitungen verbraten : W / P , die an Lampe abfällt reicht nicht mehr um sie zum Brennen zu bringen . Energietransport mit Hochspannungs- Hochstromtrafos : Þ Lampe brennt Erklärung : P Lampe = 0,16 W entnommen aus Trafos , über Leitungen transportiert. Dort auf U = 120 V hochtransformiert : nur Stromstärke von I = P/U = 0,0013 A nötig .

Dieses I bewirkt , dass in Zuleitungen nur geringe Spannung abfällt : P Leitung = R*I² = 0,0018 W wird in Leitungen verbraten , ca. 1% der Leistung (s.o.). Bem.: P = U*I = R*I² = U²/R , obige Daten einsetzen : P = 19,6 W falsch : Schaltung besteht aus R und X L der Trafos : R = U/I gilt nicht , ist vielmehr Reihenschaltung : dort für Spannungsabfall an Widerständen : U = R*I .

 Differentialgleichungen Bsp.: Harmonische mechanische Schwingung  Lin. Kraftgesetz : F = -D*s (allg.: F res = F = m*a) Beschleunigung : a(t) = F(t)/m = -s(t)*D/m , mit a = & v = : a = : s(t) = -s(t)*D/m = -k*s(t) , k = D/m (DGL einer Funktion) . Lsg. der DGL : Lsg.

ansatz raten : s(t) = ŝ sin(wt + φ) : (t) = ŝ* w* cos(wt + φ) : (t) = -ŝ *w² sin(wt + φ) = -w² * s(t) ; Vergleich mit DGL : w = √ k = √(D/m) : Für harm. Schwinger mit Richtgröße D & Masse m gibt es also ∞-viele Lsgfunktionen (ŝ , φ unbestimmt) : Bei konkreten Schwing. Anfangsbed. (s(0s) ; v(0s)) bekannt können ŝ & φ bestimmt werden .      - 31 - Bsp. ungedämpftes Pendel3.

) Anfangsbed. : (t) = -w² *s(t) ; w = √(g/L) = 3,13 1/s , ŝ = 5 cm , s(0s) = 3 cm : s(0s) = 3 cm = 5 cm*sin(3,13*0s + φ 0) : sin(φ 0) = 0,6 : φ 0 = 36,9° Lsgfunktion : s(t) = 5 cm * sin(3,13 Hz * t + 0,64) : Winkel im Bogenmaß , da 3,13 Hz auch im „Rad“ .  Elektromagnetische SchwingungenIn diesem Schwingkreis wird W el (t) = ½ CU²(t) in W mag (t) = ½ L*I²(t) umgewandelt & umgekehrt . I(t) & U(t) haben Phasenwinkel von 90°. In R wird Teil der W in innere W umgewandelt : Schwingung gedämpft .DGL der ungedämpften el.

mag. Schwingung (R = 0 Ω)Selbstinduktionsspannung : U L (t) = -L* (t) = U C (t) = Q(t)/C : -L*(t) = Q(t)/C mit I(t) = (t) : -L*(t) = Q(t)*1/C : (t) = -Q(t)*1/(L*C) DGL . Thomsonsche SchwingungsgleichungT = 2p Ö(L*C) . Standard Anfangsbed.: t 0 = 0s : C max. geladen : Q C (t 0) = , Q C (t 0) = sin(wt 0 + φ 0) = : sin φ 0 = 1 : φ 0 = p/2 .

Erg.: Q(t) = cos(wt) = sin(wt + p/2) Ladung auf C ; U(t) = Q(t)/C = cos(wt)* /C = Û cos(wt) Spannung am C ; I(t) =(t) = - *w* sin (wt); î = *w = Û *C/√(L*C) = Û *√(C/L) .            - 32 - Energiebetrachtung im ungedämpften Schwingkreis  Q(t)= sin(wt + φ 0) ; U(t)= sin(wt + φ 0)* /C ; I(t)= *w* cos(wt + φ 0) (s.o.). Gesamtenergie : W(t) = W el + W mag = ½ CU²(t) + ½ L*I²(t) = ½ C(/C)² sin ²(wt + φ 0) + ½ L² w² cos ²(wt + φ 0) = ½ ²/(C)*sin ²(wt + φ 0) + ½ L² 1/(L*C)*cos ²(wt + φ 0) = ½ ²/(C)*(sin ²( wt + φ 0) + cos ²(wt + φ 0)) = ½ ²/C = ½ C Û² = ½ L î ² .

 Der gedämpfte Schwingkreis  Um gedämpften Schwingkreis aufrechtzuerhalten muß zu geeigneten Zeitpunkten W eingespeist werden .. Manuell 2. Transistor- / MeißnerschaltungFunktion des Transistors : Arbeitspunkt :- 33 - Erzwungene SchwingungenBeob.: Resonanz tritt auf (analog zu mech. Schwing.

) : Amplitude von Û C ist bei f 0 max. Für Phasenwinkel zwischen anregender Schwing. (Spannung am Frequenzgenerator) & erzw. Schwing. (U C) gilt :Hochfrequente Schwingungen AnwendungenHochfrequenzherd-Mikrowellenherd ; Hochfrequenz-Induktionsofen zum Schmelzen von Metallen ; Radio ; Fernsehen , ..

. .Nachweis hochfrequenter Schwingungen Oszilloskop (bis zu wenigen MHz) Frequenzzähler (ca. 1 MHz) Mit einer durch ein Lämpchen kurzgeschlossenen Spule Mit abstimmbarem Resonanzkreis (L , regelbarem C , Lämpchen) ; I in diesem Kreis kann auch mit Diode & Strom-Messgerät nachgewiesen werden : bei induktiver Kopplung führt dieser Schwingkreis erzw. Schwing. aus : Resonanz .

Erzeugung hochfrequenter SchwingungenHöhere Eigen-f durch Verringerung der Induktivität & Kapazität : Windungszahl n reduzieren & Kapazität durch Verkleinerung A & Vergrößerung d verringern . Extremfall : gerades Drahtstück als Schwingkreis : Hertzscher Dipol (mit eingebautem Lämpchen & bei geeigneter Länge kann er auch als Resonanzkreis (s.o. 4.) verwendet werden) .Hertzscher DipolVerschiedene Längen : in die Nähe eines Hochfrequenzgenerators mit induktiv gekoppelten Hertzschen Dipol der Länge l : Bei best.

Länge leuchtet das Lämpchen am hellsten : Eigen-f Dipol & f Frequenzgenerator stimmen überein . Wenn Lämpchen beim selben Dipol nicht in der Mitte , so leuchtet es schwächer . Erkl.: e‾ im Draht durch U ind in der 1. ¼-Periode einer Schwing. zu einem Drahtende hin beschl.

C = Drahtenden geladen : anwachsendes E-Feld : wirkt e‾-Bewegung entgegen . Da kein hom. E-Feld : e‾ versch. stark abgebremst : Enden bes. stark , Mitte wenig . Enden : I = 0 A , Mitte I max.

: Bei auf Resonanz eingestelltem Dipol I in Mitte bes. groß . Amplitude E an Enden max. , Mitte min.Nachweis der el. Feldstärke längs eines Hertzschen DipolsDurch Glimmlampe (Zünd-U liegt an) : leuchtet an den Enden am hellsten .

 - 34 - Nahfeld um einen Hertzschen DipolIm HD fließt Wechselstrom : erzeugt (Oersted) sich änderndes (starkes) B-Feld (Ursache von I : el. Quellenfeld zwischen getrennten Ladungen) . Ferner entsteht ein sich periodisch änderndes el. Feld : B- & E-Feld haben Phasendifferenz von 90° .  E- B-Feld um einen Hertzschen Dipol während einer Periode Herleitung der E-Feldstärke um einen Hertzschen Dipol  E ist max. , wenn Ladungen vollständig getrennt (I = 0 A) Messen : E ~ 1/r keinesfalls E ~ 1/r³ .

Annahme , dass es sich um elektro-/ magnetostatischen Effekt handelt (Coulomb-Gesetz) reicht nicht zur Erklärung aus : Elektrostatik erklärt das Nahfeld : Weiterer Effekt vorhanden , der das Fernfeld beschreiben kann :Elektromagnetische Wellen  Sender vor Metallplatte : hinter Platte kein Signal mehr messbar (Abschirmung). Messen E-Feld zwischen Sender und Metallwand : Max. & Min. an festen Stellen : Dort stehende Welle (Interferenz) . Bei Reflexion erfährt E Phasensprung von 180° , B wird ohne Phasensprung reflektiert : an Wand : E-Knoten („festes Ende“) & B-Bauch („loses Ende“) . Fernfeld : E & B orthogonal aber in Phase & bilden folgendes Dreibein :Eigenfrequenzen beim Dipol  An Enden I = 0 A : B = 0 T : Knoten des B-Feldes , entsprechend E-Bauch : Dipol = Wellenträger mit stehenden el.

mag. Wellen , wenn er mit geeigneten Eigen-f f k angeregt wird . Bestimmung der Eigen-f : Bed.: d (Dipollänge) = k*l k /2 : l k = 2d/k , k = 1;2;...

: f k = c/l k = c* k/(2d) .  - 35 - Ausbreitungsgeschwindigkeit el.mag. Wellen  Annahme : Bei sich ausbreitenden Welle ist W el = W mag : El. Energiedichte :ρ el = ½ ε 0 ε r *E² , mag. Energiedichte :ρ mag = ½ (1/(μ 0 μ r))* B².

Da (Induktionsgesetz) : E = B* v : ½ ε 0 ε r *B² v² = ½ (1/(μ 0 μ r))* B² : v = 1/√(μ 0 μ r *ε 0 ε r) = Ausbreitungsgeschw. (des B-Feldes d.h.) der Welle . Im Vakuum (Luft) : ε r = μ r = 1 : c 0 = 1/√(ε 0 *μ 0) = 2,99*108 = Lichtgeschw. In Materialien ist i.

A. μ r = 1 : Ausbreitungsgeschw. in Materialien : c = c 0 /√ε r ≤ c 0 .  DGL für el.mag. Wellen  Maxwellgleichungen : B‘‘ = B˙˙ *1/c² , analog E : Lsg.

: B = (B^)sin(kx – wt + φ) , analog E : B & E sind im Fernfeld in Phase .  Dipol Eigenfrequenzen in Materie  Empfangsdipol in Materie : für optimalen Empfang , bei fester f : Länge des Dipols so eingestellt werden , dass gilt : d = k*l k /2 = k* c/(2f) . In Materie verringert sich c , da f gleichbleibt verringert sich auch l . Eigen-f : f k = k* c/(2d) , k є Ð (ohne 0)  DoppelspaltSpalten des Doppelspalts stellen Sender dar , gleiche f & in Phase schwingen (kohärent) . Treffen 2 Wellen aus diesen Sendern am Empfänger an , so interferieren sie . Sofern a>>d : Wellen-Strahlen parallel .

d heißt Gangunterschied & ist = Differenz der Entfernungen von Spalt 1 zum Empfänger und Spalt 2 zum Empfänger . Konstruktive Interferenz (Max. am Empfänger) : muss d = k*l , k є Z ; max. d = d : d ≤ d . Destruktive Interferenz (Min. am Empfänger) : d = l (2k – 1)/2 , k є Z (ohne 0).

Aus Skizze : sin α = d/d ; tan α = x/a : Bsp.: 1. Max. : d = l : sin α 1 = l /d ; tan α 1 = x 1 /a . Unterer Strahl braucht Vorsprung vor Oberem wenn beide in Phase an E ankommen sollen (Max.) : bei gegenphasiger Schwingung ist Max.

bed. = Min. bed. (s.o.) ; bei anderem Phasenwinkel φ : φ (im Bogenmaß) = 2p*d/l ; φ° = 360° *d/l ; Anteil an der Periodendauer T : t = T *d/l .

                 - 36 - Welleneigenschaften mit Mikrowellen  Mikrowellen sind ebenfalls el.mag. Wellen mit Wellenlängen im cm-Bereich und f im Gigahertz-Bereich . Strahlenförmige Mikrowellen (Sendecharakteristik)   Reflexion an einer Metallwand Welle trifft senkrecht auf Metallplatte : Interferenz : stehende Welle : Abstand zwischen 6 Knoten (= 5*l /2) : 8 cm (nicht von Wand aus messen) : Wellenlänge = 3,2 cm : bei Sende-f von 9,35 GHz : c = l *f = 3*108 m/s . Welle trifft unter Winkel α auf Platte : wird unter Winkel α reflektiert : Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Reflexionswinkel) gilt auch bei el.mag.

Wellen . Polarisationsebene (Welle auf Gitter) Linear polarisierte Welle trifft (senkrecht) auf Metallgitter : Gitterstäbe sind parallel zu E (= vertikal) : Empfänger registriert hinter Gitter kein Signal mehr , vor Gitter aber steh. Welle . Gitterstäbe senkrecht zu E : registriert weiterhin Signal . Gitterstäbe um 0°< α < 90° gegenüber Polarisationsebene gedreht : entsprechend schwächerer Empfang . ErklärungenParallel zu E stehenden Gitterstäbe = Hertzsche Dipole : Eigen-f f G << Sende-f f S da ihre Länge D erheblich größer als ausgestrahlte Wellenlänge ist : Oberschwingungen werden angeregt : Bed.

D = k*l /2 automatisch erfüllt : für hohe k verteilt sich Fehler zwischen l Reson anz und l auf viele Wellenlängen : l (und damit f) liegt immer noch im Resonanzbereich . Schwingungen zu denen Gitterstäbe angeregt wurden sind um nahezu 180° gegenüber anregender Schwingung phasenverschoben (vgl. erzw. Schwing.) . Welle Gitter in Empfängerrichtung löscht ursprüngliche Welle aus , in Sendedipolrichtung Interferenz mit ursprünglicher Welle : steh.

Welle . Metallwand ist auf Gitter mit sehr nahen Stäben : Reflexion . An Wand E-Knoten und B-Bauch , E macht Phasensprung von 180° , B ohne Phasensprung reflektiert , bilden immer folgendes Dreibein : Steht Gitter verdreht : Abschwächung Empfang : Zerlegung der einfallenden Welle in Komponente parallel (Reflexion) zu Gitterstäben und Komponente senkrecht (Durchlass) dazu . Wenn Empfangsdiode ebenfalls gedreht wird (senkrecht zu gedrehten Gitterstäben steht) : max. Signal .   - 37 - Beugung am Spalt  Brechung Übergang : Luft – Sandsin α/sin β = c 0 /c Sand = √ ε r .

Def.: sin α/sin β = c 0 /c Medium = n heißt Brechzahl des Mediums , Gleichung heißt Brechungsgesetz . Es gilt c 0 /c Medium = √ ε r = n . Allg.: Beim Übergang von Medium 1 nach Medium 2 gilt : sin α 1 /sin β 2 = c 1 /c 2 = √(ε r, 2 /ε r,1) = n 2 /n 1 .  Huygens’sches Prinzip  1.

Punktförmiger Erreger 2. Geradliniger Erreger Def.: Wellenbeschreibung mittels Wellenfronten oder gleichwertig mittels Wellenstrahlen . Welle trifft auf Spalt : Hinter Spalt entsteht Elementarwelle : Spalt verhält sich wie punktförmiger Wellenerreger . Huygens : 1. Jeder Pkt einer Wellenfront kann als Ausgangspkt einer Elementarwelle angesehen werden .

2. Jede Wellenfront ist die Einhüllende von Elementarwellen .        - 38 - Anwendungen des Huygens’schen Prinzips1. Wellenausbreitung 2. Beugung am Spalt Der Spalt ist Ausgangspkt einer Elementarwelle , da es keine weiteren Ausgangspkte gibt , ist diese gleichzeitig die (auch beobachtete) Wellenfront . 3.

Reflexion   4. BrechungOptik Brechung bei LichtLichtstrahl trifft auf halbzylinderförmigen Plexiglaskörper . Beim Messen des Einfallswinkels α und Ausfallwinkels β zeigt sich : Brechungsgesetz gilt für Licht :                      - 39 - Lichtgeschwindigkeit Ausbreitungsgeschwindigkeit in Medien5 cm dicker Plexiglaskörper wird in den Lichtweg gebracht : in Plexiglas Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner : Verschiebung des Oszi-Bildes : Licht braucht länger : ≈ 10 mm = 52 ns / 600 = Δt = t Glas - t Luft = 8,7*10-11 s (Wobei t Luft = Zeit die Licht für a = 5 cm in Luft benötigt und t Glas = Zeit die Licht für a in Glas benötigt) : Δt = t Glas - t Luft = a/c Glas - a/c 0 : c Glas = c 0*a/(a+ c 0 Δt) = 2,0*108 m/s : n Glas = c 0 /c Glas = 1,5 . Wiederholung obigen Versuchs mit Wasser : Daten : a = 1 m ; Δt = 6,6*10-7 s/600 = 1,1*10-9 s : c w = c 0 *a/(a+ c 0 Δt) = 2,3*108 m/s : n w = c 0 /c w = 1,3 .  Interferenz bei LichtAbstand des k-ten Max. vom k+1-ten (benachbarte Max.

, α klein) : Δd = d k +1 -d k = (k+1) l* a / g – k* l* a/g = l* a(k+1-k)/g = l* a/g . Anzahl der Max (! Keine kleinen Winkel α) : d ≤ g Þ k* l ≤ g .          - 40 - Dispersion  Die versch. Lichtfarben sind in Medien unterschiedlich schnell Þ Dispersion . Bsp.: blaues Licht ist in Glas langsamer als rotes Licht und wird deshalb auch stärker gebrochen .

Weißes Licht am Doppelspalt , WellenlängenBeob.: Mehrere sich zum Teil überlappende Spektren . In der Mitte (0. Max.) weiß , im 1. Spektrum (1.

Max.) von blau nach rot . Benutzt man Filter , so erkennt man die entsprechenden Farben an den Stellen , an denen vorher diese Farben waren : Es bilden sich „Zebrastreifen“ Þ Man sieht die aufeinander folgenden Max. : durch dunkle Stellen unterteilt . Wellenlänge von blauem Licht ist kleiner als von rotem .  Kohärenz  Interferenz hat etwas mit der Größe der Lichtquelle zu tun .

A liegt auf der optischen Achse , B liege so weit von A entfernt , dass die Spalte des Doppelspalts gegenphasig senden (= Gangunterschied der Strahlen von B sei l /2) : s = ÅB . Folgerung : Die Max. von B liegen an den Min. von A und umgekehrt : keine Interferenz sichtbar .Strahlensatzs/b = ½ Δ d/a mit Δ d = a *l /g = Abstand benachbarter Maxima. s = ½ a* b* l /a* g = l* b/2g ≈ l /2ε sofern ε klein Þ ε ≈ sin ε ≈ g/b : bis hier her keine Interferenz sichtbar (Wahl s = ÅB ).

Damit Interferenz sichtbar ist muß Größe der Quelle l << s sein : Quelle muß kleiner sein als ÅB aus obiger Gleichung . Þ Kohärenzbedingung : l* ε << s* ε = l /2 bzw.: l* ε << l /2 .            - 41 - Spezielle kohärente Lichtquelle : der LaserGleich angeregte Atome werden zur Emission von Licht verwendet . Lichtemission ist nicht zufällig sondern durch Lichtwelle gleicher Frequenz (Wellenlänge) ausgelöst : stimulierte Emission . Dabei ist die vom Atom ausgesandte Welle (Sekundärwelle) mit der auslösenden Primärwelle in Phase : Verstärkung (Amplification) .

He- Ne- Laser : ständige Anregung von He- Atomen durch Gasentladung : regen durch Stöße wieder Ne- Atome an : diese senden ihr Licht erst mit einiger Verspätung aus : durch diese Zeitspanne Erzeugung einer großen Zahl angeregter Ne- Atome : durch Stimulation : Aussendung ihrer Strahlung . Eine vom Ne- Atom zufällig ausgesandte Welle , die senkrecht auf einen Spiegel trifft , wird reflektiert : regt auf Weg durch Gasgemisch viele Ne- Atome zur phasengleichen Lichtemission an : Verstärkung Lichtstrahl & Reflexion zwischen Spiegeln . Wenn Spiegelabstand = Vielfaches der Wellenlänge : stehende Welle mit sehr großer Amplitude : Durch den teildurchlässigen Spiegel verläßt dabei intensives Licht einheitlicher Wellenlänge und Richtung den Laser : ist daher = kohärente Lichtquelle : erzeugt : schmale parallele Lichtbündel einer Frequenz . Aufbau :                        - 42 - Optisches Gitter  Optisches Gitter = mehrere Spalte mit gleicher Breite & Abstand : mit Laserstrahl beleuchtet : Interferenzmuster : absolute Maxima heller , weiter voneinander entfernt & schärfer als beim Doppelspalt . Bed.: für absolute Maxima (= alle Strahlen aus allen Gitterstäben interferieren konstruktiv) : d = k* l .

Bem.: Der Spaltabstand g beim Gitter heißt auch Gitterkonstante . Jedes Atom/ Molekül hat spezifische Spektrallinien . Messversuch : Hg- Dampf- Lampe (Quecksilber) : Daten : Beim Gitter (fast) nie kleine Winkel α , Gitter besitzt 6000 Striche pro cm : g = 1 cm/6000 = 1,67* 10-6 m , a = 34,2 cm , Messtabelle : gemessen : Bsp.: d 1 - d -1 = 26,1 ± 0,2 ; d 1 = 13,1 ± 0,1 ; aus tan α 1 Þ α 1 = 20,8° - 21,1°. l = sin α 1 *g (in nm) = 593 – 601 (Mittelwert : 597) ; Farbe : orange ; angeg.

l auf Lampe = 578 . g neu berechnet : d 1 -d -1 = 221 cm ± ½% ; a = 2,65 m ± ½% (Fehler) → g = 1,64* 10-6 m + 2% zur Angabe von 1,67* 10-6 m . schräg auf ’s Gitter draufstrahlen : s. auch Buch S. 236 Nr.: 13 : g des ursprünglichen Gitter ‘s wird kleiner , Spalte werden kleiner , Spalte senden leicht - stark phasenverschobene Wellen aus (kommt auf Schrägstellung (φ) an wie stark).

 Beugung am (Einzel-) Spalt  Laserstrahl erzeugt auf Schirm einen scharfen Fleck . Strahl durch Spalt eingeschränkt : Fleck wird größer & von Dunkelstellen unterbrochen → beleuchteter Spalt ist in jedem Pkt Ausgangspunkt einer Elementarwelle → können interferieren . Interferenzmuster am Einzelspalt : konstruktive Interferenz aller (paralleler) Strahlen nur für α = 0° : Interferenzmuster besitzt nur ein Hauptmaximum in der Mitte → durch 2 Minima begrenzt . Minima- Bedingung beim SpaltFür Minima muss jeder Strahl Partner finden um destruktiv zu interferieren (unter α). Minimum 1. Ordnung : Randstrahl 1 mit Strahl 1‘ destruktiv interferiert (Gangunterschied : l /2) → jeder andere Strahl ( z.

B.: 2 ; 3) findet Partner (2‘ ; 3‘) um destruktiv zu interferieren : dann haben die beiden Randstrahlen den Gangunterschied d = l . Für k-te Minima : Randstrahlen haben Gangunterschied d = k* l ; k є 9 \ {0} . k-tes Minimum tritt unter α k auf : sin α k = d/b = k* l /b ; k є 9 \ {0} . Anzahl der Minima : 1 ≥ sin α k = k* l /b Þ k ≤ b/l . Zwischen 2 Minima ist ein (im allgemeinen lokales) Maximum .

         - 43 -Skizze zum Einzelspalt Prinzip des schrägen Gitters           - 44 - Gitter bestehen aus Einzelspalten  Die Intensitätsverteilung des Gitters liegt im Interferenzmuster der Einzelspalte , aus denen das Gitter besteht . Daher haben die Gittermaxima verschiedene Intensität (ist durch die Intensität der Spalte begrenzt). Insbesondere können Gittermaxima ausfallen , wenn sie unter einem Winkel α k auftreten , unter dem die Einzelspalte ein Minimum besitzen : b < g ; Min. (Einzelspalt) , Max. (Gitter) ; sin β k = k* l /b , sin α k = k* l /g : Für α k < β k gibt es Max. (Bsp.

: α 2 = β 1 : g = 2b) : Wenn 1 bei P Min. hat , hat 2 bei P etwas Intensität : 1 & 2 kommen ja eigentlich nicht in einem Punkt P an bzw. haben nicht am selben Punkt ein Min. sondern leicht verschoben (um g) . Dadurch sind Max. des Gitters , die eigentlich wegen s.

o. ausfallen müßten evtl. noch zu sehen . Da die Intensität der Max. wegen der Einzelspalte in höheren Ordnungen stark abnimmt , sieht man evtl. Max.

, die eigentlich da sein müßten , nicht mehr , da zwar Licht ankommt , aber nicht genug für unser Auge .  Polarisation  À Polarisationsfolien ; Á Licht ist i. A. nicht polarisiert ;    - 45 - Ã Polarisation durch Streuung : gestreutes Licht ist polarisiert . Erklärung : Ä Polarisation durch Reflexion – das Brewstersche Gesetz :Interferenz an dünnen Schichten - 46 - Interferenz an Kristallen  Mikrowellen werden an räumlich angeordneten Kunststoffscheiben reflektiert . Versuch :   sin φ = d 1 /d Þ d 1 = sin φ *d , entsprechend d 2 Strahlen , die an benachbarten Ebenen reflektiert werden , haben Gangunterschied : d = d 1 + d 2 mit : d = 2* sin φ *d .

Bei best. φ interferieren Strahlen konstruktiv : d = k* l ; Winkel heißen dann Glanzwinkel φ k . Þ Bragg-Bed. : k* l /(2d) = sin φ k ; k = 1 ; 2 ; 3 ; ...

.  Experimentelle Realisation bei Kristallen  Bei Kristallen : Abstände der Netzebene im Bereich von d ≈ 10-10 m Þ um Bragg-Bed. zu erfüllen : Wellenlängen mit 10-12 - 10-10 m . Þ Röntgenröhren → liefert kontinuierliches Spektrum von Wellen ; einzelne Wellenlängen sind besonders intensiv . Diese bes. intensive Strahlung auf Netzebene 100 von NaCl fallen lassen & φ variieren .

Gleichzeitig Zählrohr um 2φ drehen (Drehkristallmethode nach Bragg).          - 47 - Debye - Scherrer – Kristallpulver - Verfahren  Feingeriebenes Kristallpulver : Bestrahlung mit monochromatischer Röntgenstrahlung & Registrierung mit einem Film : Entstehung von konzentrischen Kreisen auf dem Film : Ist φ ein Glanzwinkel , so wird räumlich so abgestrahlt , dass ein Kegel entsteht : Auftreffpunkte bilden einen Kreis . Röntgenstrahlen „suchen“ sich diejenigen Kriställchen , deren Ebenen unter Glanzwinkeln zum Röntgenstrahl liegen (wobei 99% der Strahlung so durchgeht und nur sehr wenig an den Kriställchen wirklich reflektiert wird). Aufgeklappter Film : Fotoeffekt    → A und K = 2 Platten eines Kondensators : dessen U kann man messen . Man hat aber kein Spannungsmeßgerät mit R = ∞ → Trick : Quelle anschließen → A zusätzlich neg. laden → damit keine eֿ mehr ankommen , muß man entsprechende Spannung anlegen (z.

B.: 1 V) : es fließt kein I mehr . → schnellste eֿ erreichen A gerade nicht mehr → haben gerade nicht mehr 1eV Energie .    - 48 - Lampe : Helligkeit Anzahl der e‾ Farbe W B der e‾ å kann eigentlich nicht sein , da el. mag. Wellen nur von der Amplitude abhängen nicht von der Frequenz (Õ Farbe) .

Überprüfung   Farbe U in V Weiß 1,2 Violett 1,08 Blau 0,85 Grün 0,37 Gelb 0,14 Rot 0 (→ kein Fotoeffekt) Þ W B hängt von der Frequenz (→ Farbe) ab Þ Licht ist keine el. mag. Welle → besteht aus „Quanten“ (≈ „Energiebrocken“ unterschiedlicher Größe).   Ein einfach- kubischer Kristall läßt sich parallel zur d 100 - Netzebene leichter spalten als in jeder anderen Richtung , da bei dieser Netzebene der Abstand benachbarter Netzebenen maximal ist .  Plancksches Wirkungsquantum & Lichtquanten Wechselwirkung von Licht mit Materie Streuung an Materie : e‾ in den Atomen werden zu Schwingungen angeregt (ang

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