Vektorrechnung unter besonderer berücksichtigung der darstellungsmöglichkeiten eines computer-algebrasystems
Vektorrechnung unter besonderer Berücksichtigung der Darstellungsmöglichkeiten eines Computer-Algebrasystems
Grundlagen der Vektorrechnung – Projektion? VEKTORPFEILE!!
Beweise, Formeln
Vorgangsweise bei Erstellung eines Moduls - Struktogramm
Vektorrechnung am Dreieck
R2 – Modul
R3 – Modul + Isometrics
Bsps + Tests
Grundlagen der Vektorrechnung:
Definition eines Vektors (Pfeils):
Die Menge aller Pfeile mit derselben Richtung, derselben Orientierung und derselben Länge bildet einen Vektor der Ebene bzw. des Raumes.
Geht ein Vektor von einem Punkt aus, so ist seine Position im Koordinatensystem eindeutig festgelegt.
Grundbegriffe:
Ein Vektor wird durch ein Tupel definiert
Ein Tupel ist die geordnete Zusammenfassung von Zahlen, die eine fixe Reihenfolge besitzen. Jede Zahl steht für die Ausdehnung des Vektors in die jeweilige Richtung.
z.
B. Die erste Zahl gibt die Ausdehnung Vektors auf der x-Achse des Koordinatensystems an.
n-Tupel: geordnete Zusammenfassung von n-Zahlen
Paar: zweidimensionaler Vektor, auf einer Ebene
Tripel: dreidimensionaler Vektor, im Raumlinks ist ein zweidimensionaler Vektor zu sehen
Sein 2-Tupel oder Paar hat folgende Form:
x gibt seine Ausdehnung auf der x-Achse an
und y die auf der y-Achse.
y
x
Rechenregeln:
*) Addition / Subtraktion *) Multiplikation / Division
Skalares Produkt:
Bezeichnung: „Skalares Produkt der Vektoren A und B.“
Das skalare Produkt zweier Vektoren ergibt immer eine Zahl.
Wenn
dann beträgt der Winkel zwischen A und B 90°
Vektorprodukt bzw.
Kreuzprodukt:
gesucht: Vektor, der zu und normal ist.
wir definieren und erhalten 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten
Herausheben von n1 und t:
Substitution:
Festlegung:
Länge eines Vektors:
Die Länge eines Vektors wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet.
y
x
Winkel zwischen 2 Vektoren:
gesucht: Winkel zwischen den Vektoren und
Dabei wird der Cosinussatz angewendet.
Mittelpunkt einer Strecke:
Normalvektorform:
Beweis der Behaupung:
Flächeninhalt eines Dreiecks bzw. Parallelogramms:
Vorbedingungen:
*) *)
*) *)
Herleitung des Flächeninhaltes:
Einheitsvektor:
Um die Länge eines Vektors auf 1 zu verändern, muß man ihn durch seine
Länge, sprich seinen Betrag, dividieren:
Normalprojektion:
Man projeziert den Vektor b auf den Vektor a und erhält den Vektor b|.
Will man nun b| als Vektor, muß man mit Hilfe des Einheitsvektors die Länge von a an die
Länge von b| angleichen.
Der erhaltene Vektor ist b|:
Parameterdarstellung:
Vektorrechnung im R2 – siehe UVEKTR2.MTH:
Die Gerade:
Geraden können in Bezug auf die Vektorrechnung mittels 2er Techniken definiert werden.
Normalvektordarstellung:
hier wird zur Aufstellung der Gerade ein Punkt und ein Vektor normal zur Gerade benötigt. Die Formel hierzu lautet:
Die expandierte Gleichung sieht dann so aus:
Man kann noch immer die Ausdehnung des Normalvektors ablesen.
Parameterdarstellung:
hier wird zur Aufstellung der Gerade ein Punkt und deren Richtungsvektor benötigt. Die Formel hierzu lautet:
Der Parameter t definiert die Punkte, die von dem Ausgangspunkt P den t*g-ten Abstand haben.
Da t variabel ist, entsteht eine Gerade.
Lagebeziehungen 2er Geraden:
gegeben: 2 Geraden:
Es gibt 3 Möglichkeiten der Lage der Geraden zueinander:
Es existert ein Schnittpunkt:
g und h sind parallell:
g und h sind ident:
Der Kreis:
Der Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M denselben Abstand haben.
Lagebeziehungen von Kreis und Gerade:
Passante:
Tangente:
Sekante:
Lagebeziehungen 2er Kreise:
k1 und k2 berühren sich nicht:
k1 und k2 berühren sich von außen:
k1 schneidet k2 und umgekehrt:
k2 berührt k1 von innen:
k2 liegt zur Gänze innerhalb von k1, kein Berührungspunkt:
Die Tangentengleichung:
Berechnungen am Dreieck:
Schwerpunkt:
Höhenschnittpunkt:
Inkreismittelpunkt:
Umkreismittelpunkt:
Ankreismittelpunkt:
Gergonnesche Punkt:
Nagelsche Punkt:
Eulersche Gerade:
Geht durch den Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und den Schwerpunkt.
Vektorrechnung im R3 – UVEKTR3.MTH:
Im 3-dimensionalen Raum werden Geraden nur mehr in Parameterform dargestellt. Ebenen hingegen in Parameterform und Normalvektorform.
Parameterform einer Ebene:
3D – Darstellungen – U3D.MTH:
Darstellung einer Ebene im 3D-Fenster von Derive:
Im 3D-Fenster können Ebenen nur in Normalvektorform dargestellt werden. Weiters muß der Term explizit sein d.h. man drückt die z-Koordinate durch die x und die y-Koordinate aus. Im Klartext: Man löst die Gleichung nach z.
Dann kann man die Ebene im 3D-Fenster zeichnen.
Darstellung von Geraden, Vektoren, Ebenen im 2D-Fenster – Isometric(s):
UISOMET.MTH
Zur Verwendung der ISOMETRIC(S) und anderer dazugehöriger Module ist es notwendig das Utility-File GRAPHICS.MTH entweder im Hintergrund (Transfer/Load/Utility) oder offen (Transfer/Load/Derive) zu laden. Es beinhaltet alle, zur Darstellung 3-dimensionaler Objekte im 2D-Fenster, benötigten Funktionen.
Diese nehmen eine isometrische Projektion vor.
Die Ausdehnung eines 3-dimensionalen Objektes wird auf 2 Dimensionen heruntergerechnet, dabei sind alle 3 verwendeten Verzerrungsfaktoren gleich.
Zeichnen der Koordinatenachsen – axes:
Die Funktion axes definiert 3 Geraden, die die Achsen darstellen und sich beliebig lange zeichnen lassen.
Die Funktion ISOMETRIC(v):
kann zur Projektion eines einparametrigen Vektors verwendet werden. Die 3 Koordinaten des 3-dimensionalen Vektors werden auf 2D umgerechnet.
Die Funktion ISOMETRICS(e , t , t0 , tn ,n , s , s0 , sm , m):
nimmt eine Projektion einer Ebene in Parameterform vor. Zur Darstellung ist die Voreinstellung Option/State/Connected zu empfehlen.
ISOMETRICS erstellt eine 2-dimensionale Matrix eines Ausschnittes der tatsächlichen Ebene.
Bsp:
Die Ebenenfunktion:
Durch Vertauschung der beiden Parameter kann man die Linien in entgegengesetzter Richtung zeichnen. Dadurch wird eine perfektere Ebenendarstellung möglich.
Kugel:
Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, die von einem Punkt denselbem Abstand haben.
b) Lagebeziehungen:
Lagebeziehungen von Geraden im R3:
Schnittpunkt: 2) Parallel:
3) ident: 4) windschief:
Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade:
1) Schnittpunkt:
Parallel:
g liegt auf E:
Lagebeziehungen zwischen 2 Ebenen:
Schnittgerade:
parallel:
ident:
Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen:
Stapel-Form:
Z-Form:
Dach-Form:
Mühlrad-Form:
Schnittpunkt:
c) Abstandsberechnungen im R3:
Abstand eines Punktes von einer Geraden:
Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Abstand einer Geraden von einer Ebene:
Voraussetzung: g muß parallel zu E sein
Abstand 2er Ebenen:
Voraussetzung: E1 muß zu E2 parallel sein
Abstand 2er windschiefer Geraden:
5) Allgemeine Vorgangsweise bei der Erstellung eines Moduls:
Um alle Fälle, die bei manchen Problemem auftreten, in einem Modul berücksichtigen zu können, muß zwischen ihnen unterschieden und der jeweilige Lösungsweg verwendet werden. Diese Abfrage über nimmt der IF-Befehl, der folgende Struktur hat:
IF Bedingung 1
THEN
ELSE
UNKNOWN
IF Bedingung 2
THEN
ELSE
UNKNOWN
Syntax: IF( THEN, IF(THEN, ELSE, UNKNOWN), UNKNOWN)
Die obige Darstellung zeigt eine 2-fach verschachtelte IF-Bedingung.
Wird die in der ersten IF-Anfrage benötigte Bedingung erfüllt, dann wird der Befehl im THEN-Zweig ausgeführt. Ist das nicht der Fall, wird auf den ELSE-Zweig zugegriffen die dortige Aufgabe gestartet. In unserem Fall ist das eine erneute IF-Bedingung, die nach demselben Schema funktioniert wie die übergeordnete.
Jede der beiden hat zusätzlich noch einen UNKNOWN-Zweig zur Verfügung, der dann ausgeführt wird, wenn syntaktische oder andere undefinierte Probleme beim Ablauf des Programms auftreten, wie z.B. die versehendliche Eingabe von Text anstatt einer konkreten Zahl.
Mit diesem Schachtel-Schema können vielschichtige Probleme beliebig genau aufgespaltet und differenziert behandelt werden.
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